一、问题的提出：《周髀算经》是否“自相矛盾”？
在《周髀算经》所述盖天宇宙模型中，天与地的形状如何，现代学者们有着普遍一致的看法，这里 举出叙述最为简洁易懂的一种作为代
表∶
然而，同样普遍一致地,这种看法的论述者总是在同时指出∶上述天地形状与《周髀算经》中有关计算所 暗含的假设相互矛盾。仍举出一例为代表:
天高于地八万里,在《周髀》卷上之二,陈子已经说过，他假定地面是平的；这和极下地面高于四旁地面六万里,显然是矛盾的。……它不以地是平的, 而说地如覆盘。[2]
其实这种认为《周髀算经》在天地形状问题上自相矛盾的说法，早在唐代李淳风为《周髀算经》所作注 文中就已发其端。李淳风认为《周髀算经》在这一问题上“语术相违,是为大失”。[3]
但是，所有持上述说法的论著, 事实上都在无意之中犯了一系列未曾觉察的错误。从问题的表层来 看, 这似乎只是误解了《周髀算经》的原文语句,以及过于轻信前贤成说而递相因袭，未加深究而已。然 而再往深一层看,何以会误解原文语句? 原因在于对《周髀算经》体系中两个要点的意义缺乏认识----这两 个要点是: “日影千里差一寸”和“北极璇玑”。前一个要点笔者已有另文专门讨论，[4] 下文仅略述其大 要，重点则在讨论第二个要点，再分析对原文语句的误解问题。
二、“日影千里差一寸”及其意义
《周髀算经》中的盖天学说是一个公理化体系，其中的宇宙模型有明确的几何结构，由这一结构进 行推理演绎时又有具体的、绝大部分能够自洽的数理。“日影千里差一寸”正是在一个不证自明的前提、 亦即公理----“天地为平行平面”----之下推论出来的定理。这个定理且能推广其应用，即所谓“勾之损益 寸千里”。
然而，认定《周髀算经》是“自相矛盾”的论者，总是勇于指出“天地为平行平面”这一前提之谬误， 却不去注意这条公理在《周髀算经》体系中的地位。“天地为平行平面”固然不符合今天的常识，却未 必不符合古人的常识。更重要的是，在“天地为平行平面”与“日影千里差一寸”这对公理-定理之间， 有严密的数学推理所支持，并无任何矛盾 (俱详见[4])。
解决《周髀算经》中盖天宇宙模型天地形状问题的另一关键就是所谓“北极璇玑”。此“北极璇玑” 究竟是何物，现有的各种论著中对此莫衷一是。钱宝琮赞同顾观光之说，认为“北极璇玑也不是一颗实 际的星”，而是“假想的星”。[5] 陈遵妫则明确表示∶
“北极璇玑”是指当时观测的北极星；……《周髀》所谓“北极璇玑”，即指北极中的大星，从历史上的考据和天文学方面的推算，大星应该是帝星即小熊座β星。[6]
但是，《周髀算经》谈到“北极璇玑”或“璇玑”至少有三处，而上述论述都只是针对其中一处所作出 的。对于其余几处，论著者们通常都完全避而不谈----实在是不得不如此，因为在“盖天宇宙模型中天地 形状为双重球冠形”的先入之见的框架中，对于《周髀算经》中其余几处涉及“北极璇玑”的论述，根 本不可能作出解释。如果又将思路局限在“北极璇玑”是不是实际的星这样的方向上，那就更加无从措 手了。 《周髀算经》中直接明确谈到“璇玑”的共三处，依次见于原书卷下之第8、9、12节，[7] 先依照顺 序录出如下∶
欲知北极枢、璇玑四极，常以夏至夜半时北极南游所极，冬至夜半时北游所极，冬至日加酉之时西游所极，日加卯之时东游所极，此北极璇玑四游。正北极璇玑之中，正北天之中，正极之所游…… (以下为具体观测方案)。
璇玑径二万三千里，周六万九千里 (《周髀算经》全书皆取圆周率=3)。此阳绝阴彰，故不生万物。
牵牛去北极……。术曰∶置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里，……。东井去北极……。术曰∶置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，……。
从上列第一条论述可以清楚地看到，“北极”、“北极枢”和“璇玑”是三个有明确区分的概念∶
那个“四游”而划出圆圈的天体，陈遵妫认为就是当时的北极星，这是对的，但必须注意，《周髀算 经》原文中分明将这一天体称为“北极”，而不是如上引陈遵妫论述中所说的“北极璇玑”。 “璇玑”则是天地之间的一个柱状空间，这个圆柱的截面就是“北极”----当时的北极星 (究竟是今 天的哪一颗星还有争议)----作拱极运动在天上所划出的圆。
至于“北极枢”，则显然就是北极星所划圆的圆心----它才能真正对应于天文学意义上的北极。
在上面所作分析的基础上，我们就完全不必再回避上面所引《周髀算经》第9、第12节中的论述了。 由这两处论述可知，“璇玑”并非假想的空间，而是被认为实际存在于大地之上----处在天上北极的正下 方，它的截面直径为23,000里，这个数值对应于《周髀算经》第8节中所述在周地地面测得的北极东、西 游所极相差2尺3寸，仍是由“勾之损益寸千里”推导而得。北极之下大地上的这个直径为23,000里的特殊 区域在《周髀算经》中又被称为“极下”，这是“璇玑”的同义语。
如果仅仅到此为止，我们对“璇玑”的了解仍是不完备的。所幸《周髀算经》还有几处对这一问题的 论述，可以帮助我们解破疑团。这些论述见于原书卷下第7、第9节∶
极下者，其地高人所居六万里，滂沲四颓而下。
极下不生万物，何以知之? ……
于是又可知∶“璇玑”又指一个实体，它高达60,000里，上端是尖的，以弧线向下逐渐增粗，至地面时， 其底的直径为23,000里 (参见本文图1)；而在此69,000里圆周范围内，如前所述是“阳绝阴彰，故不生万 物”。
此外，如果接受双重球冠模式，则极下之地就会与整个大地合为一体，没有任何实际的边界可以将两 者区分，这也是明显违背《周髀算经》原意的----如前所述，极下之地本是一个直径23,000里、其中“阳 绝阴彰，不生万物”、阴寒死寂的特殊圆形区域。
根据前面几节的讨论，我们已经知道《周髀算经》所述盖天宇宙模型的基本结构是∶
天与地为平行平面，在北极下方的大地中央矗立着高60,000里、底面直径为23,000里的上尖下粗的 “璇玑”。剩下需要补充的细节还有三点∶
一是天在北极处的形状。大地在北极下方有矗立的“璇玑”，天在北极处也并非平面，《周髀算经》 在卷下第7节对此叙述得非常明确∶
极下者，其地高人所居六万里，滂沲四颓而下。天之中央，亦高四旁六万里。
也就是说，天在北极处也有柱形向上耸立----其形状与地上的“璇玑”一样。这一结构已明确表示于本文 图1。该图为《周髀算经》盖天宇宙模型的侧视剖面图，由于以北极为中心，图形是轴对称的，故只需绘 出其一半；图中左端即“璇玑”的侧视半剖面。
二是天、地两平面之间的距离。在天地为平行平面的基本假设之下，这一距离很容易利用表影测量和 勾股定理推算而得 (推算之法及其有关讨论详见[4])。即《周髀算经》卷上第3节所说的“从髀至日下六万 里而髀无影，从此以上至日则八万里”。日在天上，天地又为平行平面，故日与“日下”之地的距离也 就是天与地的距离。而如果将盖天宇宙模型的天地理解成双重球冠形曲面，这些推算都无法成立。李淳 风以下，就是因此而误斥《周髀算经》为“自相矛盾”。其实，《周髀算经》关于天地为平行平面以及 天地距离还有一处明确论述，见卷下第7节∶
天离地八万里，冬至只日虽在外衡，常出极下地上二万里。
“极下地”即“璇玑”的顶部，它高出地面六万里，故上距天为二万里。
三是盖天宇宙的总尺度。盖天宇宙是一个有限宇宙，天与地为两个平行的平面大圆形，此两大圆平面 的直径皆为810,000里----此值是《周髀算经》依据另一条公理“日照四旁各十六万七千里”推论而得出 (参 见[4])，有关论述见于卷上第4、第6节∶
冬至昼，夏至夜，差数所及，日光所逮观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。
日冬至所照过北衡十六万七千里，为径八十一万里，周二百四十三万里。
北衡亦即外衡，这是盖天宇宙模型中太阳运行到距其轨道中心----北极----最远之处，此处的日轨半径为 238,000里，太阳在此处又可将其光芒向四周射出167,000里，两值相加得宇宙半径为405,000里，故宇宙直 径为810,000里。
上图中各参数之意义及其数值，依据《周髀算经》原文所载，开列如下∶
J 北极(天中)
Z 周地(洛邑)所在
X 夏至日所在(日中之时)
F 春、秋分日所在(日中之时)
D 冬至日所在(日中之时)
r 极下璇玑半径 = 11,500里
Rx 夏至日道半径 = 119,000里
Rf 春、秋分日道半径 = 178,500里
Rd 冬至日道半径 = 238,000里
L 周地距极远近 = 103,000里
H 天地距离 = 80,000里
h 极下璇玑之高 = 60,000里
综上所述，《周髀算经》中盖天宇宙几何模型的正确形状结构如图1所示。这一模型既然处处与《周 髀算经》原文文意吻合，在《周髀算经》的数理结构中也完全自洽可通，为何前贤却一直将天地形状误 认为双重球冠形曲面呢? 这就必须仔细辨析“天象盖笠，地法覆盘”八个字了。
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文章标题：《周髀算经》盖天宇宙结构考发布于2023-04-30 13:11:51
